확률과 통계 정리 - 집합의 분할, 확률의 개념

Jan 7, 2022 » math

해당 포스팅은 고등학생때 배웠던 확률과 통계의 내용을 복습하기 위해서 만들어졌으며 포스팅의 내용들은 유튜브의 고등학교 수학 채널 수악중독의 확률과 통계 개념정리내용을 바탕으로 작성되었습니다.

1. 집합의 분할

원소가 유한개인 집합을 공집합이 아니면서 서로소인 몇개의 부분집합들에 대한 합집합으로 나타낼 수 있습니다.
- 유한개의 집합 $A$, 집합 $A$의 원소 $A_i, (i=1,2,3 \cdots k)$로 $k$개의 부분집합이 존재하는 경우
  - $A_i \neq \phi$
  - $A_i \cap A_j = \phi$ , $(i \neq j)$, $j = 1, 2, 3, \cdots k$ 이면 $A_i$ 와 $A_j$는 서로소입니다.
  - $A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_k = A$
원소가 유한개인 집합 $A = \{a, b, c\}$가 존재 할 때,

$\begin{matrix} \{a, b, c\} &=& \{a\} \cup \{b, c\} \\ &=& \{b\} \cup \{a,c\} \\ &=& \{c\} \cup \{a,b\} \end{matrix}$

로 표현이 가능합니다.

2. 확률의 개념

시행 : 1)동일한 조건, 2)여러번 반복, 3)결과가 우연에 지배되는 실험 또는 관찰
표본공간 : 시행의 결과들에 대한 집합
사건 : 표본공간의 부분집합
- 근원사건 : 원소의 개수가 1개인 사건
- 합사건, 합집합 : $A \cup B$
- 곱사건, 교집합 : $A \cap B$
  - 배반사건 : $A \cap B = \phi$
- 여사건 : $A^c$
확률
- 수학적 확률(선험적 확률)
  - 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 경우 모든 경우의 수가 담긴 표본공간 $S$ 와 어떤 사건 $A$ 입니다.
    
    이때, 사건 $A$가 일어날 확률은 $P(A) = \frac{사건의 원소 개수}{표본공간의 원소 개수} = \frac{n(A)}{n(S)}$
  - 사건 $A$ 가 발생하지 않는 공사건 : $P(A) = 0$
  - 사건 $A$를 포함한 표본공간에 대한 전사건 : $P(S) = 1$
  - 공사건과 전사건을 고려한 사건 $A$ 에 대한 확률의 범위입니다.
    
    $0 \leq P(A) \leq 1$
- 기하학적 확률
  - 원소의 개수가 세기가 곤란한 연속적인 경우
    - 화살을 쏴서 10점 영역에 맞을 확률 = $\frac{10점영역의 널비}{과녁의 총 넓이}$
- 통계적 확률(경험적 확률 = emprical probability)
  - 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같지 않기에, 과거의 사건이 나온 횟수나 빈도를 기반으로 확률을 만드는 경우를 말합니다.
  - 어떤 사건 $A$를 식별하기 위해서 실험을 $n$번 시도하여 $r$번 식별되었을 때의 확률은 $\frac{r}{n}$ 로 표현이 가능합니다.
  - 통계적 확률인 $\frac{r}{n}$을 독립시행으로 수없이 많이 시도하는 경우 일정한 값에 가까워지기 때문에 수학적 확률에 근사하게 됩니다.
    
    $P(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{r}{n}$
  - 경험적 확률은 빈도주의적 관점이라고 볼 수 있으며 새로운 베이지안 주의적 관점도 존재합니다.
    - 베이지안 주의적 관점의 확률은‘주장에 대한 신뢰도’라고 봅니다.

독립시행

여러 반복한 결과가 서로 영향을 주지 않는 경우를 말합니다.
매시행시 일어날 확률이 $p$인 사건에서 $n$회의 시행중 $r$번 일어날 확률
- $P(A) = _{n}\mathrm{C}_{r}p^r(1-p)^{n-r}$

여사건의 확률

사건 $A$가 있을 때, $A$의 부분집합을 제외한 나머지 부분집합을 말합니다.
$P(A) = 1 - P(A^c)$

확률의 덧셈정리

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

3. 조건부 확률

$B$ 라는 사건이 발생하였을 때, $A$ 라는 사건이 발생할 확률
- $P(A \lvert B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 단, $P(B) \neq 0$

확률의 곱셈정리

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \lvert B)$

사건의 독립과 종속

한 사건 $A$ 가다른 사건 $B$ 에 영향을 주지 않는 경우 두 사건은 서로 독립관계 이기 때문에 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 가 성립합니다.
- 샘플을 뽑는 방법중 복원 추출을 하는 경우 샘플이 아무리 뽑아도 뽑히는 확률이 동일하기 때문에 독립적인 사건입니다.
- 비복원 추출은 샘플을 뽑으면 다음 샘플이 뽑힐 확률에 영향을 끼치기 때문에 종속적인 사건입니다.

베이즈 정리

사건 $B$에 발생하였을 때, 사건 $A$가 발생할 확률을 통하여 반대로 $A$가 발생하였을 때 $B$가 발생할 확률을 구할 수 있습니다.
$P(B \lvert A) = \frac{P(A \lvert B) P(B)}{P(A)}$
- $P(B \lvert A)$ 는 사후확률(postrior probability)로 사건 $A$가 발생하고 갱신된 후의 사건 $B$의 확률을 의미합니다.
- $P(B)$ 는 사전확률(prior probability)로 사건 $A$ 가 발생하기 전, 갱신되기 전의 사건 $B$의 확률을 말합니다.
- $P(A \lvert B)$ 는 가능도(likelihood) 라고 부릅니다.
- $P(A)$ 는 정규화 상수, 또는 증거(evidence) 라고 부릅니다.
베이즈 정리는 사건 $B$ (사전확률)가 발생하고 새로운 사건 및 정보인 $A$ (증거)가 발생하였을 때, 사건 $B$가 갱신되어지면서 사건 $A$가 사건 $B$에 어떻게 영향을 끼쳣는지 알 수 있습니다.
사전확률과 사후확률에서 사전과 사후를 나누는 기준이 되는 사건은 evidence를 의미하며 evidence를 관측하여 갱신하기 전 후의 주장에 관한 신뢰도입니다.
참고 사이트