선형대수 정리 - 선형결합, 생성, 기저

Dec 4, 2021 » math

1. 선형결합(linear combination)

선형결합은 벡터 집합 $X$과 스칼라(계수, 가중치) 집합 $A$이 주어졌을 때, 두 집합간의 곱의 합으로 표현된 $y$를 벡터 $X$의 선형결합이라고 부릅니다.
$y = a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = \sum_{i=1}^na_ix_i$
선형결합은 벡터공간의 대수적인(수식적인) 표현입니다.
벡터와 벡터를 더하면 새로운 벡터가 생기는데 이 새로운 벡터는 이전 2개의 벡터로 만들어지는 면에 속하는 하나의 점이므로 벡터공간의 공리를 모두 충족하게 됩니다.

$y = \sum_{i=1}^na_ix_i = 0$ 일 때, $a_k = 0, \forall{k}$이면 벡터의 집합 $X$ 내의 원소들은 서로 선형 독립입니다.
벡터의 집합 $X$ 내의 원소들은 모두 다른 방향을 가지는 벡터 즉, 서로 다른 단위 벡터를 가지게 됩니다.

$y = \sum_{i=1}^na_ix_i = 0$ 일 때, $a_k \neq 0, \forall{k}$이면 벡터의 집합 $X$ 내의 원소들은 서로 선형 종속입니다.
벡터의 집합 $X$ 내의 원소들중에서 일부 벡터는 동일한 방향을 가지는, 즉 같은 단위 벡터를 가지는 벡터가 존재한다는 의미입니다.

벡터공간 $V$의 모든 벡터들을 $V$상의 벡터 $v_1, v_2, \cdots v_n$의 선형결합으로 나타낼 수 있는 경우, 벡터 $v_1, v_2, \cdots v_n$가 벡터공간 $V$를 생성(span) 합니다.
임의의 벡터 $u_1, u_2$가 존재할 때, $u_1$과 $u_2$으로 만들 수 있는 모든 선형결합의 집합으로 2차원의 실수공간 $R^2$을 생성(span)합니다.

기저 벡터는 다음의 두 가지 조건을 동시에 만족하는 벡터를 말합니다.
- $v_1, v_2, \cdots v_n$이 선형 독립입니다.
- $v_1, v_2, \cdots v_n$이 $V$를 생성합니다.
2차원 실수 공간 $R^2$ (평면) 를 생성하였을 때, 이 공간을 표현하기 위해서는 2개의 축을 정의해야합니다. 만약 평면에 속하는 벡터인 $u_1, u_2$가 서로 독립이면, $u_1, u_2$를 2개의 축이라고 정의할 수 있으며 기저 벡터라고 부릅니다.
기저 벡터의 길이가 1인 경우 정규 기저 벡터(normal basis vector) 라고 부르며 서로 직교하는 기저 벡터를 직교 기저 벡터(orthogonal basis vector), 길이가 1이고 서로 직교하면 정규 직교 기저 벡터(ortho-normal basis vector)라고 부릅니다.
기저 벡터의 개수를 차원이라고 부르며 $dim(V)$로 표현합니다.